jueves, 4 de julio de 2013

LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

La sucesión de Fibonacci


1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144....

 

A finales del siglo XII, la república de Pisa es una gran potencia comercial, con delegaciones en todo el norte de África. En una de estas delegaciones, en la ciudad argelina de Bugía, uno de los hijos de Bonaccio, el responsable de la oficina de aduanas en la ciudad, Leonardo, es educado por un tutor árabe en los secretos del cálculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaría convirtiéndose, gracias a él, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental: nuestro actual sistema de numeración posicional.
Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., para entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor.
De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera summa matemática de la Edad Media.
En él aparecen por primera vez en Occidente, las nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.



Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números:

1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89....

Liber abaci junto al conocido "problema de los conejos" que más que un problema parece un acertijo de matemáticas recreativas. El problema en lenguaje actual diría:
"Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?”
En este gráfico vemos que el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los términos de la sucesión.
Veamos con detalle estos números.

1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144....

Es fácil ver que cada término es la suma de los dos anteriores. Pero existe entre ellos otra relación curiosa, el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el número áureo


Pero los números de la sucesión de Fibonacci van a sorprender a todos los biólogos.

Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.

El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.

Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.

Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8.

Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci.

Rectángulos de Fibonacci y espiral de Durero

Podemos construir una serie de rectángulos utilizando los números de esta sucesión.

Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión.

Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x1.
Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo de 3x2.
Ssobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13, 13x21...

Podemos llegar a rectángulo de 34x55, de 55x89...

Cuanto más avancemos en este proceso más nos aproximamos al rectángulo aureo.
Hemos construido así una sucesión de rectángulos, cuyas dimensiones partiendo del cuadrado (1x1), pasan al rectángulo de dimensiones 2x1, al de 3x2, y avanzan de forma inexorable hacia el rectángulo áureo.

Si unimos los vértices de estos rectángulos se nos va formando una curva que ya nos resulta familiar. Es la espiral de Durero. La espiral de nuestro logotipo.
Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes... Es decir, la espiral del crecimeinto y la forma del reino animal.

Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza.

EL NUMERO DE ORO

El Número de Oro

En el diseño de cosas que vemos y usamos cotidianamente, la configuración más bella es la que utiliza el Número de Oro. Para  demostrar que tal cosa ocurre con más frecuencia de lo que en general se cree, paulatinamente  añado casos de la presencia de Ф en diferentes objetos de uso corriente. El propósito subyacente es despertar mayor y más amplio interés por el conocimiento y aplicación de Ф, sin que éste esté reservado para estudiosos y diseñadores en diferentes campos. El ideal es que, desde temprana edad, se conozca sus propiedades estéticas y geométricas, para su aplicación en la configuración de lo que se quiera representar de la Naturaleza o en figuras de creación propia, con el convencimiento de que su empleo es muy simple y que está al alcance de todos, como la mejor forma de celebrar el próximo Día del Número de Oro (hacer clic), el 13 de septiembre, recordando el nacimiento de Matila Ghyka, el mayor difusor del conocimiento de Ф

EL HUEVO DORADO

Simplificando lo que está en GEOMETRÍA DE LA PARÁBOLA SEGÚN EL NÚMERO DE ORO:

EL BUDA DORADO

Es admirable y muy revelador que en la figura del Buda Bhumisparsha se muestre el canon de la armonía universal, porque esa imagen muestra una mano que señala al cielo y la otra a la tierra: el Universo. El Triángulo Dorado por excelencia, en rojo, tiene manifestaciones en la Naturaleza y en la obra humana.

LA MANZANA DORADA

La Serie de Fibonacci se construye con números que son, cada uno, la suma de los dos anteriores. Cuando más se avanza en esa Serie. al dividir un número entre su anterior el resultado es más próximo al Numero de Oro: 1,618…
La Serie es 1, 1, 2, 3, 5, 8. 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233….
Por ejemplo, 233 entre 144 = 1,618… = Ф (Número de Oro)
Se ha encontrado que la manzana, que está confifurada con el Número de Oro, muestra en su composición el desarrollo de la Serie de Fibonacci.


TAPA DE REVISTA

El 05.06.11 salío un nuevo formato de la tapa de la revista Club de El Mercurio, de Santiago de Chile, donde se ha empleado el Rectángulo Áureo, con lados 1Ф (1,618…), que es una de las manifestaciones más frecuentes del canon de la armonía.

TARJETAS MONETIZADAS

Todas las tarjetas bancarias y las de cualquier tipo de débito, tienen una dimensión estándar de 8,5 x 5,3 (redondeado de 5,253…) cm. O sea, otro Rectángulo Áureo, con lados que tienen las proporciones de 1 y Ф(1,618…). Si se divide 8,5 entre 5,3 se obtiene una aproximación a Ф mayor al 99%. Dicho de otra manera si se divide 8,5 entre 1,618 (el valor de Ф) se obtiene 5,253…

INSTRUMENTO DE CUERDA
El popular charango boliviano, el instrumento de cuerda más conocido en los Andes centrales, muestra con extraordinaria claridad que su dimensionamiento responde a la asociación longitudinal de 1 y Ф, la llamada Sección Áurea, en forma paradigmática de todos los instrumentos de cuerda del mundo, como se demuestra en Ф en los Instrumentos de Cuerda del Mundo (hacer clic). Particularmente en el caso del charango, cuya fabricación está en manos de artesanos, es más destacable la presencia de Ф pues no se trata del resultado de un cálculo previo, sino de la generación espontánea de la belleza plástica en un instrumento para crear belleza musical.

BILLETE BANCARIO

Otra manifestación del  Rectángulo Áureo, con lados 1 y Ф (1,618…), está en el billete de 1.000 pesos chilenos, emitido reciéntemente, cuyas dimensiones son: 12 x 7 (redondeado de 7,4…) cm.

AVIÓN DE COMBATE

En el ataque japonés a Pearl Harbor, en diciembre de 1941 ― que hizo que los Estados Unidos participaran en la Segunda Guerra Mundial ― el avión de combate Zero tuvo la más destacada actuación. Para contrarrestarlo se diseñó el HellCat, un pequeño caza con mejores condiciones de maniobra. En forma indiferente a que se trate de un arma de guerra, contribuyó a su eficacia la presencia de Φ en su configuración.

PREDIOS

PREDIOS EN PERÚ



Ø  Concepto
                                                                                                                                                     
    El Impuesto Predial es aquel tributo que se aplica al valor de los predios urbanos y rústicos. Se consideran predios a los terrenos, las edificaciones (casas, edificios, etc.) e instalaciones fijas y permanentes (piscina, losa, etc.) que constituyen partes integrantes del mismo, que no puedan ser separados sin alterar, deteriorar o destruir la edificación.                                                                                                                                   
                                                                                                                                                                                          

                                                                                                                                                                                          
Ø  Sujetos del Impuesto
                                                                                                                                                                                          
    Personas naturales o jurídicas propietarias de los predios; sin embargo, cuando la existencia del propietario no pueda ser determinada, son responsables, los poseedores inmediatos o tenedores de los mismos. Los predios sujetos a condominio (varias casas) se consideran como pertenecientes a un solo dueño, salvo que se comunique a la Municipalidad el nombre de los condóminos y la participación que a cada uno le corresponda. Los condóminos son responsables solidarios del pago del impuesto que recaiga sobre el predio, pudiendo exigirse a cualquiera de ellos el pago total del tributo.                                                                                                                                            

                                                                                                                                                                                          
Ø  ¿Cuándo se Adquiere la Calidad de Contribuyente?
                                                                                                                                                                                          
    El impuesto es de periodicidad anual, es decir, la condición de contribuyente es atribuible al 1º de enero del año siguiente de producida la transferencia; debiéndose cancelar dicho impuesto cuando se efectúe cualquier transferencia.                                                                                                                                                                    
                                                                                                                                                                                          

                                                                                                                                                                                          
Ø  Determinación del Impuesto a Pagar
                                                                                                                                                                                          
    La base imponible para la determinación del impuesto está constituida por el valor del total de predios del contribuyente ubicados en cada distrito. El valor total de los predios se determina aplicando los valores arancelarios de terrenos y valores unitarios oficiales de edificación vigentes al 31 de octubre del año anterior y las tablas de depreciación por antigüedad y estado de conservación que formula el Consejo Nacional de Tasaciones y aprueba anualmente el Ministro de Transportes, Comunicaciones, Vivienda y Construcción mediante Resolución Ministerial. El valor arancelario varía anualmente de acuerdo a la aprobación de la CONATA. Por ello, es posible que el pago de este año, sea diferente al del próximo año, y así sucesivamente.



LA TASA PARA EL COBRO DEL IMPUESTO PREDIAL:
TRIBUTO: IMPUESTO PREDIAL
BASE IMPONIBLE (VALOR DEL AUTOAVALÚO)

Tasa
ALICUOTA

HASTA S/. 15 UIT
0.20%
MAS DE 15 UIT HASTA 60 UIT
0.60%
MAS DE  60 UIT
1.00%
MONTO MÍNIMO 
0.6 % UIT



   
                                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                                                           
Ø  Cuándo se debe Declarar                                                                                                                                  
1.    Anualmente, al último día hábil del mes de febrero, salvo que el Municipio establezca una prórroga. Es decir, una vez que ha recibido su Declaración Jurada, tiene plazo hasta el último día hábil del mes de febrero para presentar cualquier tipo de información con la que no esté de acuerdo.
2.    Cuando se efectúa cualquier transferencia de dominio de un predio. En este caso el vendedor está en la obligación de descargar la propiedad hasta el último día hábil del mes siguiente de ocurrido el hecho y el comprador está en la obligación de declarar la propiedad hasta el último día hábil del mes de Febrero del año siguiente de producido el hecho.
3.    Cuando un predio sufra modificación en sus características que sobrepasen el valor de cinco (05) UIT. En estos casos la Declaración Jurada debe presentarse hasta el último día hábil del mes siguiente de producidos los hechos.
Cuando lo determine la Administración Tributaria y dentro del plazo que determine para tal fin.                                      

 

                                                                                                                                                     
Ø  Excluidos al Pago del Impuesto      
         
  
a.     El Gobierno Central, Gobiernos Regionales y Gobiernos Locales, excepto los predios que hayan sido entregados en concesión al amparo del Decreto Supremo Nº 059-96-PCM, Texto único Ordenado de las normas con rango de ley que regulan la entrega en concesión al sector privado de las obras públicas de infraestructura y de servicios públicos, sus normas modificatorias, ampliatorias y reglamentarias, incluyendo las construcciones efectuadas por los concesionarios sobre los mismos, durante el tiempo de vigencia del contrato.
b.    Los Gobiernos Extranjeros, en condición de reciprocidad, siempre que el predio se destine a residencia de sus representantes diplomáticos o al funcionamiento de oficinas dependientes de las embajadas, legaciones o consulados, así como predios de propiedad de Organismos Internacionales reconocidos por el Gobierno Peruano que les sirvan de sede.
c.     Las sociedades de beneficencia, siempre que se destinen a sus fines específicos y no se efectúe actividad comercial en ellos.
d.    Las entidades religiosas, siempre que los predios se destinen a templos, conventos, monasterios y museos.
e.    Las entidades públicas destinadas a prestar servicios médicos asistenciales.
f.      El Cuerpo General de Bomberos, siempre que el predio se destine a sus fines específicos.
g.    Las Comunidades Campesinas de la Sierra y Selva, con excepción de las extensiones cedidas a terceros para su explotación económica.
h.    Las Universidades y Centros Educativos, debidamente reconocidos, respecto de sus predios destinados a sus finalidades educativas y culturales, conforme a la Constitución.
i.      Las concesiones en predios forestales del Estado dedicados al aprovechamiento forestal y de fauna silvestre y en las plantaciones forestales.
j.      Los predios cuya titularidad corresponda a organizaciones políticas: partidos, movimientos o alianzas políticas reconocidas por el órgano electoral correspondiente.
k.     Los predios cuya titularidad corresponda a organizaciones de personas con discapacidad reconocidas por el CONADIS.
l.      Los predios cuya titularidad corresponda a organizaciones sindicales, debidamente reconocidas por el Ministerio de Trabajo y Promoción Social, siempre y cuando los predios se destinen a los fines específicos de la organización.
m.   Predios que hayan sido declarados monumentos integrantes del Patrimonio Cultural de la Nación por el Instituto Nacional de Cultura, siempre que sean dedicados a casa habitación o sean dedicados a sedes de instituciones sin fines de lucro, debidamente inscritas o sean declarados inhabitables por la Municipalidad respectiva.

En los casos señalados en los incisos c), d), e), f), y h), el uso parcial o total del inmueble con fines lucrativos, que produzcan rentas o no relacionados a los fines propios de las instituciones beneficiadas, significará la pérdida de la exclusión.                                                                                                                                                                          
                                                                                                                                                                                          

Ø  ¿Qué beneficios tienen los pensionistas?
Para efectos de la determinación del Impuesto Predial, los pensionistas, debidamente acreditados como tales, tienen derecho a deducir del Valor del Autoavalúo de su predio el monto equivalente a 50 UIT (S/.180,000 para el ejercicio 2010).

Es decir: Si el valor del Autoavalúo de su predio es menor o igual a S/.180,000 no paga Impuesto Predial. Si el valor del Autoavalúo es mayor de S/.180,000 el cálculo para el pago del Impuesto Predial se efectuará por el monto que sobrepasa esa cifra.
                                                                                                                                                                                           
                                                                                                                                                     
Ø  ¿Cómo y cuándo se paga impuesto predial?
                                                                                                                                                                                          
    El impuesto podrá cancelarse al contado hasta el último día hábil del mes de febrero de cada año o en forma fraccionada hasta en 04 cuotas trimestrales, hasta el último día hábil de los meses de febrero, mayo, agosto y noviembre. Dichas cuotas serán reajustadas a partir de la segunda, de acuerdo a los índices de precios al por mayor (IPM) que publica el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI).                                                       
                                                                                                                                                                                          

                                                                                                                                                                                          
Ø  ¿Qué hacer cuando se realiza una transferencia?                                                                                        

    Cuando se efectúa cualquier transferencia de dominio de un predio. En este caso el vendedor está en la obligación de descargar la propiedad hasta el último día hábil del mes siguiente de ocurrido el hecho y el comprador está en la obligación de declarar la propiedad hasta el último día hábil del mes de Febrero del año siguiente de producido el hecho. Si no se declara esta compra o transferencia se estará sujeta a multa.